Tunjukkan bahwa [tex]Z_{6}[/tex] bukan merupakan Integral Domain !!
Clue : Gunakan Tabel Cayley
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Secara umum, jika [tex]n[/tex] bilangan bulat dan [tex]n[/tex] bukan bilangan prima, maka [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] bukan merupakan integral domain (daerah integral). Jadi, kita dapat simpulkan bahwa [tex]\mathbb{Z}_6[/tex] bukan merupakan integral domain.
Namun, kita perlu menunjukkan bahwa [tex]\mathbb{Z}_6[/tex] bukan merupakan integral domain. Oleh karena itu, mari kita tunjukkan.
[tex]\mathbb{Z}_6=\left(R,\ +_6,\ \times_6\right)[/tex] dengan [tex]R=\{0,1,2,3,4,5\}[/tex]. [tex]+_6[/tex] adalah operasi penjumlahan modulo 6, dan [tex]\times_6[/tex] adalah operasi perkalian modulo 6.
[tex]\begin{aligned}\bullet\ \ a\:+_6\:b\:\equiv\:(a+b)\ (\!\!\!\!\mod6)\\\bullet\ \ a\:\times_6\:b\:\equiv\:(a\times b)\ (\!\!\!\!\mod6)\end{aligned}[/tex]
Tabel Cayley untuk [tex]\mathbb{Z}_6[/tex] dijabarkan sebagai berikut.
Tabel 1: Tabel Cayley untuk [tex]\left(R,\ +_6\right)[/tex]
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\begin{array}{ccccccc}+_6&\bf0&\bf1&\bf2&\bf3&\bf4&\bf5\\\bf0&0&1&2&3&4&5\\\bf1&1&2&3&4&5&0\\\bf2&2&3&4&5&0&1\\\bf3&3&4&5&0&1&2\\\bf4&4&5&0&1&2&3\\\bf5&5&0&1&2&3&4\\\end{array}\end{aligned}$}[/tex]
Tabel 2: Tabel Cayley untuk [tex]\left(R,\ \times_6\right)[/tex]
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\begin{array}{ccccccc}\times_6&\bf0&\bf1&\bf2&\bf3&\bf4&\bf5\\\bf0&0&0&0&0&0&0\\\bf1&0&1&2&3&4&5\\\bf2&0&2&4&\boxed{0}&2&4\\\bf3&0&3&\boxed{0}&3&\boxed{0}&3\\\bf4&0&4&2&\boxed{0}&4&2\\\bf5&0&5&4&3&2&1\\\end{array}\end{aligned}$}[/tex]
[tex]\bf\mathbb{Z}_6[/tex] merupakan integral domain jika dan hanya jika tidak ada elemen tak-nol yang merupakan pembagi nol pada [tex]\bf\mathbb{Z}_6[/tex].
Atau dengan kata lain:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\nexists\ a,b \in \mathbb{Z}_6-\{0\},\\&\quad a\times_{6}b=b\times_{6}a=0\end{aligned}$}[/tex]
Atau ekuivalen dengan:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\forall\:a,b \in \mathbb{Z}_6-\{0\},\\&\quad a\times_{6}b\ne0\:\land\:b\times_{6}a\ne0\end{aligned}$}[/tex]
Dari tabel 2, untuk elemen-elemen tak-nol, kita memperoleh:
[tex]\begin{aligned}\bullet\ &2\:\times_6\:3\ =\ 3\:\times_6\:2\ =\ 0\\\bullet\ &3\:\times_6\:4\ =\ 4\:\times_6\:3\ =\ 0\\\therefore\ &\boxed{\ \begin{aligned}&\textsf{$\bf\{2,3,4\}$ adalah himpunan}\\&\textsf{elemen pembagi nol pada $\mathbb{Z}_6$}\end{aligned}\ }\end{aligned}[/tex]
KESIMPULAN
∴ Terdapat elemen tak-nol yang merupakan pembagi nol pada [tex]\bf\mathbb{Z}_6[/tex] , yaitu 2, 3, dan 4. Oleh karena itu, [tex]\mathbb{Z}_6[/tex] bukan integral domain (daerah integral). [tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
